LÓGICA DE CLASES

Integrantes: Alondra Buenrostro Villegas, Diana Cristina Cárdenas Vázquez, Sarhay Nick-t-ha Rivas Romero

Equipo 4.

Noción de Clase o Pertenencia.

Clase es el conjunto de objetos a los que conviene un predicado determinado. Verbigracia, la clase de los navarros es el conjunto de individuos que cumplen la condición de haber nacido en un determinado reino español.

        Conocer la extensión de un concepto supone conocer su comprensión o intensión. ¿Cómo podemos saber si una cosa pertenece a la extensión de un concepto, si desconocemos las notas de que consta dicho concepto? Sólo si sabemos que "hombre" incluye las nociones de animal y de racional podremos aplicarlo a Juan, a Pedro, etcétera, y separar así el conjunto de objetos que cumplen las mencionadas propiedades.

        De ahí que para la definición precisa de las clases deba recurrirse precisamente a algunas nociones de la llamada lógica de predicados.

        La lógica de predicados adopta un punto de vista intensionalista o comprensivita al preocuparse de las propiedades y su conveniencia con los individuos.

        Sea la proposición "Juan canta". Esta proposición consta de un predicado (canta) y de un sujeto (Juan). El predicado tiene la característica de poder determinar a gran número de individuos, lo cual permite considerarlo un funtor. Al igual que el funtor de la negación en la lógica proposicional podía determinar un sinnúmero de proposiciones, así el funtor "canta" puede referirse a Juan, a Pedro, a Suintila, etc. Y de la misma manera que lo determinado por el funtor de la negación se llama su argumento, así lo determinado por "canta" será su argumento. Argumento que en este caso es terminal, no proposicional como el anterior.

        En la lógica de predicados se descomponen las proposiciones en una función {f} y un argumento (x). La función significa un predicado (o nombre de una cualidad) que está necesitado de complementación con un argumento del cual se predica. 

        La lógica de clases también se ocupa de la composición de las proposiciones, pero no desde el punto de vista intencional, sino desde el punto de vista de la extensión. En una función proposicional se dice del argumento que presenta una determinada nota o propiedad, mientras que en la lógica de clases se dirá que la extensión de un concepto está incluida en la de otro. La proposición "Juan canta" no se interpretará ya en el sentido de que Juan cumple la nota de cantar; se dirá, por el contrario, que Juan pertenece a la clase de los que cantan.

        Por clase debemos entender la extensión de un concepto. Pero la noción de clase no está desligada de la de predicado, sino que constituye un aspecto complementario y dependiente de ella. Por lo mismo, a partir de todo predicado podemos formar una clase. Propongamos la cualidad de ser "enfermizo". La clase de los enfermizos será el conjunto de todas las entidades a que pueda aplicarse dicha cualidad.

        Existe un primer funtor de la lógica de clases que permite designar los individuos a los que conviene un determinado predicado, por modo tal que a partir de la función enunciativa se construye una clase. Sea la propiedad "ser taimado". Pongamos que de la función proporcional f (x), "f" es precisamente dicha propiedad y habremos convertido la mencionada función en un predicado que puede referirse a muchos argumentos, cosa que podría representarse de la forma siguiente: "... es taimado". El conjunto de los objetos que pueden llenar el lugar dejado por los puntos en esta expresión será la clase de los taimados. Esta clase puede expresarse mediante el funtor llamado abstractor (ver abstractor) que significa precisamente el conjunto de objetos que pueden ser argumentos de "... es taimado".

Clase universal y clase nula

La clase universal es la clase a la cual pertenecen todos los individuos.

Símbolo V. Para definirla puede usarse el principio de identidad, pues todo objeto lo satisface: V=of. Ex = x-

La clase nula o vacío es la clase a la cual no pertenece ningún individuo. Símbolo ^. Para definirla se emplea la negación del mismo principio pues ningún objeto la satisface:

^= de. ^x x  = x.

Representación gráfica  Una clase puede representarse gráficamente mediante un circulo inscrito en un rectángulo. El círculo representa la clase dada y el rectángulo la clase universal o el universo del discurso. 

 

La zona sombreada en negro representa el resultado de la operación. Para representar operaciones más complejas, las descomponemos en pasos sucesivos dibujando un grafico para cada uno de ellos hasta llegar al resultado final. 

Inclusión y pertenencia: No deben confundirse las relaciones de inclusión y pertenencia. La inclusión es una relación entre clases; hemos visto que ac B significa que cada miembro de a es también miembro de B. La pertenencia, en cambio es una relación entre individuo y clase, La confusión entre ambos conceptos se origina en la existencia de clases de clases, eso es, clases que están formadas a su vez por clases, no por individuos. Así, por ejemplo los miembros de la clase de los objetos numerosos no son individuos, sino clases; a saber: la clase de los insectos, la clase de los hombresetc. Estas clases pertenecen a la clase de los objetos numerosos pero no están incluidas en ella. En realidad están tomadas como todos, como individuos. Por lo general, las proposiciones universales establecen una relación de inclusión entre clases (ejemplo: Todos los hombres son mortales, expresa que la clase de los hombres está incluida en la clase de los seres mortales); pero en ocasiones estas proposiciones establecen una relación de pertenencia de una clase a otra (ejemplo: Los insectos son numerosos, expresa que la clase de los insectos pertenece, en cuanto a clase o conjunto, a la clase de las cosas numerosas, que ella misma es numerosa, no que cada uno de sus miembros lo es).

Las diferencias entre la inclusión y la pertenencia se ponen claramente de manifestó al considerar las propiedades formales de cada una. Mientras la primera es reflexiva, anti simétrica y transitiva, la segunda es irreflexiva, asimétrica e intransitiva.

Inclusión y pertenencia en los razonamientos.

Puesto que las relaciones de inclusión y pertenencia tienen distintas propiedad formales, operar con relación de pertenecía como si fuera una relación de inclusión (y viceversa) puede dar origen a razonamientos inválidos. Consideremos, por ejemplo, los siguientes razonamientos:

·           Los cuadriláteros son polígonos

·           Los cuadrados son cuadriláteros

·           Los cuadrados son polígonos

·           Los dientes son treinta y dos

·           Los colmillos son dientes

·           Los colmillos son treinta y dos

Aparentemente, ellos tienen la misma estructura: Todo M es P todo S es M; por lo tanto todo S es P, que una forma valida (Barbará) del silogismo categórico. Sin embargo, el segundo razonamiento es patentemente inválido, pues tiene premisas verdaderas y conclusión falsa. La falacia se origina al tratar una relación de pertenencia (que es, por ende intransitiva): Los dientes son treinta y dos, como si fuera una relación de inclusión (y, por consiguiente, transitiva)

SILOGISMO CATEGÓRICO

Es un razonamiento de consta de dos premisas y una conclusión. Donde las premisas y la conclusión son proposiciones categóricas. En el silogismo categórico interviene tres términos. El menor, el medio, el mayor cada uno de los cuales presenta en dos de las proposiciones que lo constituyen.
El sujeto de la conclusión se llama término menor del silogismo, el predicado de la conclusión se llama término mayor del silogismo, el término que no aparece en la conclusión pero aparece en las dos premisas, se llama término medio.Ejemplo: En el siguiente silogismo identificar las premisas, la conclusión, el término menor, mayor y medio.
Todos los hombres son racionales.
Algunos hombres son inconmovibles.
Por lo tanto, algunos seres racionales son con movibles
Solución: Para identificar los elementos de un silogismo se tiene en cuenta los siguientes aspectos: La expresión que aparece predicada por la expresión por lo tanto: es la conclusión del silogismo, y se identifica el sujeto y el predicado y se obtiene el término menor y mayor. El término medio es aquel que no se presenta en la conclusión sino en las premisas.
FORMA TÍPICA D E UN SILOGISMO Un silogismo está escrito en forma típica cuando se expresa primero la premisa que contiene el término mayor, luego la premisa que contiene el término menor y finalmente la conclusión.

REGLA DE LOS TÉRMINOS DE LOS SILOGISMOS: Un silogismo ha de tener tres y sólo tres términos. El término medio ha de ser tomado al menos en una de las premisas universalmente.
El término medio no puede figurar en la conclusión. Los términos menos y mayor no pueden tener en la conclusión mayor cantidad que las que tienen en las premisas.

Autoevaluación

1.- ¿Cómo se define la noción de clase?

2.- ¿Qué letras se utilizan para representan las clases?

3.- ¿Cuáles son las operaciones entre clases?

4.- ¿Cuál es la clase a la que pertenecen todos los individuos?

5.- ¿Cuáles son las relaciones que se dan entre las clases?

6.- ¿Qué nombre recibe la relación existente entre individuos y clase?

7.- ¿Cuántos círculos se requieren, para simbolizar en los diagramas de Ven, los silogismos?